Hodge-Vermutung in München

Die Deutsche Mathematiker-Vereinigung und die Junge Akademie veranstalten an sieben Orten in Deutschland eine Abenteuerreise durch die Mathematik mit Veranstaltungen zu den sieben Milleniumproblemen, zum Beispiel im Juni in Bonn über die Riemann-Vermutung.

In München fanden im oben abgebildeten Gebäude der bayerischen Akademie der Wissenschaften gestern die Veranstaltungen zur Hodge-Vermutung statt.

Unter den sieben Vermutungen ist die Hodge-Vermutung der Kugelfisch. Sie brauchen einen Koch, der ihn fachmännisch seziert, sonst ist es tödlich.

begann Sebastian Stiller als Vertreter der Deutschen Mathematiker-Vereinigung seine Einführung. Man wolle die Dinge am Wegesrand zeigen und nicht unbedingt zu den Ursprüngen vordringen. Wie bei der in Berlin gerade gezeigten Ausstellung über die Nil-Expedition, bei der es auch eher um Königreiche und Landschaften am Flussufer (und auch Kugelfische) gehe und um allerlei Mitbringsel. Die Mitbringsel aus mathematischen Abenteuern seien in die Kultur hineingewachsen, man finde sie in der Umgebung des Veranstaltungsorts in Architektur und Musik.

Entsprechend begann auch die Veranstaltung dann mit einem Musikprogramm und mit einem Vortrag von Jürgen Richter-Gebert über Mathematiker und ihre Probleme, in dem unter anderem die nichteuklidische Geometrie, die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises und die Unmöglichkeit eines Algorithmus für ganzzahlige Lösungen polynomieller Gleichungen angerissen und für ein breites Publikum verständlich dargestellt wurden. Dazu gab es auch eine Poster- und Modell-Ausstellung, die vor und nach den Vorträgen und in der Pause besichtigt werden konnte.

Aus dem Hauptvortrag von Christian Liedtke konnte ich jedenfalls so viel verstehen, dass, weil Lineare Algebra einfach und Algebraische Geometrie schwer ist (Strukturtheorie, Klassifikationsresultate, Algorithmen und numerische Verfahren sind für die lineare Algebra bekannt, für die algebraische Geometrie weiß man sehr viel weniger), man algebraische Geometrie zu linearisieren versucht durch Einführung von Kohomologietheorien. Die Frage ist dann wieviele Informationen dabei verlorengeht.

Zum Beispiel gibt es auf einer kubischen Fläche stets 27 Geraden und diese erklären in gewisser Weise, warum die zweite Kohomologie dieser 4-dimensionalen Mannigfaltigkeit Dimension 7 hat. Bei einer Fläche vom Grad 4 (sogenannte Kummer-Flächen) ist die Dimension der zweiten Kohomologie stets 22, aber die Anzahl von Geraden kann alles zwischen 0 und 64 sein, meist ist sie 0. Nun hat man die sogenannte Zykelabbildung, die auf natürliche Weise jeder auf der (komplexen) Fläche liegenden (komplexen) Kurve ein Element der zweiten Kohomologie zuordnet und der Schlüssel zum Verständnis ist der (1,1)-Satz von Lefschetz, demzufolge eine Kohomologieklasse einer Fläche X genau dann einer Kurve (bzw. einer rationalen Linearkombination von Kurven) entspricht, wenn sie in liegt. Die 1950 von Hodge aufgestellte Vermutung ist die höher-dimensionale Verallgemeinerung, also für k-dimensionale Untervarietäten in einer höher-dimensionalen Varietät, deren rationale Linearkombinationen genau aufspannen sollen.

Ich werde die Videos der Vorträge hier verlinken, sobald sie online sind.

Nachtrag: Inzwischen sind die Vorträge online.